فرمول های هفتم
یک ضلع × خودش = مساحت مربع
یک ضلع × 4 = محیط مربع
طول × عرض = مساحت مستطیل
2× (طول + عرض) = محیط مستطیل
2 ÷ (قاعده × ارتفاع) = مساحت مثلث
مجموع سه ضلع = محیط مثلث
نصف ارتفاع × (قاعده بزرگ + قاعده کوچک) = مساحت ذوزنقه
مجموع 4 ضلع = محیط ذوزنقه
2÷ (قطر بزرگ × قطر کوچک) = مساحت لوزی
یک ضلع × 4 = محیط لوزی
ارتفاع × قاعده = مساحت متوازی الاضلاع
مجموع دو ضلع متوالی × 2 = محیط متوازی الاضلاع
عدد پی × مجذور شعاع = مساحت دایره
14/3 × شعاع × شعاع
14/3 × قطر = محیط دایره
مساحت کره
چهار ×عدد پی × مجذور شعاع = مساحت کره
حجم کره
عدد پی × شعاع به توان 3 = حجم کره
14/3 × (نصف قطر کوچک × نصف قطر بزرگ) = مساحت بیضی
یک ضلع × تعداد اضلاع = محیط چند ضلعی منتظم
طول یال × مساحت یک وجه = حجم مکعب
ارتفاع × عرض × طول = حجم مکعب مستطیل
ارتفاع × قاعده = حجم مکعب
ارتفاع هرم × مساحت قاعده هرم = حجم هرم
ارتفاع × مساحت قاعده = حجم استوانه
ارتفاع × محیط قاعده = مساحت جانبی
سطح دو قاعده + مساحت جانبی = سطح کل استوانه
مجموع مساحت سطوح جانبی = مساحت جانبی منشور
مجموع مساحت دو قاعده + مجموع مساحت سطوح جانبی = مساحت کلی منشور
ارتفاع × مساحت قاعده = حجم مخروط
تعاریف هندسی
شعاع : خطی از مرکز دایره به پیرامون دایره را شعاع می گویند.
(شعاع خطی مستقیم است که مرکز دایره را به نقطه ای از محیط دایره وصل می کند)
شعاع نصف قطر است.
قطر : فاصله مستقیم دو طرف دایره را که از وسط دایره بگذرد را قطر می نامند.
عدد پی : 14/3 = π یکی از معروف ترین ثابت های ریاضی عدد π می باشد.
عدد پی نسبت محیط دایره به قطرش است و تقریبا برابر 14/3 می باشد.
و دقیقتر آن 14159/3
و دقیقتر آن تا 22 رقم اعشاری برابر است با :
1415926535897932384626/3 = π
عدد پی (π) عددی گنگ است که رقم هایش تا بی نهایت ادامه دارد.
*برای بدست آوردن مساحت و محیط دایره، کره و بیضی از عدد ثابت پی استفاده می شود.
زاویه حاده (زاویه تند) : زاویه کوچکتر از 900 را حاده یا تند گویند.
زاویه قائمه : برابر 900 می باشد.
زاویه منفرجه (زاویه باز) : زاویه بیشتر از 900 را زاویه باز یا منفرجه نامند.
زاویه نیم صفحه : زاویه 1800 را زاویه نیم صفحه گویند. همانند نیم دایره
درجه = واحد اندازه گیری زاویه، درجه است.
حداکثر زاویه (تمام صفحه) 360 درجه است. همانند دایره
نیم ساز : نیم خطی که زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند را نیمساز زاویه گویند.
دو خط عمود بر هم : دو خط که زاویه بین آنها راست یا 900 باشد دو خط عمود بر هم هستند.
عمود منصف : عمود منصف خطی است که هم عمود بر پاره خط بوده و هم آن را نصف کرده باشد.
انواع خط :
خط راست :
خط شکسته :
خط خمیده :
خط باز :
خط بسته :
پاره خط :
نقطه تقاطع
خطوط متقاطع :
خط تقارن = اگر شکلی را از وسط تا کنیم طوری که تمامی زوایای آن شکل بر هم منطبق شوند، محل تا شدگی را خط تقارن نامند.
بخش پذیری اعداد
حاصل تقسیم صفر بر هر عددی برابر صفر است.
حاصل تقسیم هر عددی بر صفر تعریف نشده است. یا می توان گفت بی نهایت است.
اعدادی بر 2 قابل تقسیم هستند که یکان آنها زوج باشد.
اعدادی بر 3 قابل تقسیم هستند که مجموعشان بر 3 قابل تقسیم باشد.
اعدادی بر 4 قابل تقسیم هستند که دو رقم آخر آنها بر 4 قابل تقسیم باشد.
هر عددی که مضربی از 100 باشد نیز بر 4 قابل تقسیم است. (چون 100 خودش بر 4 قابل تقسیم است.)
اعدادی بر 5 قابل تقسیم هستند که رقم یکان آنها 0 یا 5 باشد.
اعدادی بر 6 قابل تقسیم هستند که بر 2 و 3 قابل تقسیم باشند.
عددی بر 8 قابل تقسیم است که یا مضربی از 1000 باشد و یا 3 رقم آخر آن بر 8 قابل تقسیم باشد.
اعدادی بر 9 قابل تقسیم هستند که مجموعشان بر 9 قابل تقسیم باشد.
عددی بر 10 قابل تقسیم است که رقم آخر آن صفر باشد.
عددی بر 11 قابل تقسیم است که اگر ارقام آن عدد را به ترتیب از چپ به راست یکی در میان منها و جمع کنیم، حاصل صفر یا مضربی از 11 باشد.
اعدادی بر 12 قابل تقسیم هستند که بر 3 و 4 قابل تقسیم باشند.
اعدادی بر 14 قابل تقسیم هستند که بر 7 و 2 قابل تقسیم باشند.
اعدادی بر 15 قابل تقسیم هستند که بر 3 و 5 قابل تقسیم باشند.
هر تقسیم از چهار قسمت تشکیل شده است :
مقسوم، مقسوم علیه، خارج قسمت، باقیمانده.
باقیمانده + مقسوم علیه × خارج قسمت = مقسوم
اعداد
اعداد طبیعی :
اعداد صحیح بزرگتر از صفر را اعداد طبیعی گویند.
N = {1, 2, 3, 4, 5,…..}
اعداد صحیح :
مجموعه اعداد مثبت و منفی صحیح را اعداد صحیح نامند.
Z = {…,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,…}
اعداد اعشاری : 5/71 و 14/3
اعداد اول
اعداد اول : هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 که غیر از خودش و 1 مقسوم علیه دیگری نداشته باشد، عدد اول نامیده می شود.
P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,……}
اعداد مثبت : کلیه اعداد بزرگتر از صفر اعداد مثبت هستند. 5 و 1
اعداد منفی : کلیه اعداد کوچکتر از صفر اعداد منفی هستند. -6 , -3
اعداد کسری : ، ، ،
هر عدد به صورت که در آن a , b اعداد صحیح می باشند و b ≠0 باشد یک کسر نامیده می شود.
اعداد گویا : هر عددی که بتوان به صورت کسر نوشت یک عدد گویا است.
اعداد گویا را با Q نمایش می دهند.
هر عدد صحیح یک عدد گویاست.
عدد گنگ : عددی که قابل تبدیل به نسبت دو عدد درست نباشد، عدد گنگ (اصم) است.
اعداد گنگ را با (Q`) نمایش می دهند.
مجموعه اعداد گویا و گنگ را اعداد حقیقی گویند و با (R) نمایش می دهند.
نصف : ثلث : ربع : خمس :
متر
متر = صد سانتیمتر یک متر است.
کیلومتر = 1000 متر یک کیلومتر است.
سانتی متر = 10 میلیمتر یک سانتی متر است.
میلیمتر = یک میلیمتر برابر 1000 میکرون است.
دسی متر = 10 سانتیمتر یک دسی متر است.
دکامتر = 10 متر
هکتو متر = 100 متر
ذرع = 104 سانتیمتر
متر مربع برابر است با مربعی که هر ضلع آن 1 متر باشد.
1 اینچ = 54/2 سانتیمتر
1 فوت = 5/30 سانتی متر
1 یارد = 44/91 سانتی متر
1 مایل = 609/1 کیلومتر
هکتار = 10.000 متر مربع
جریب = 4050 متر مربع
1 کیلومتر مربع = 100 هکتار
لیتر
واحد اندازه گیری مایعات لیتر است.
لیتر = یک لیتر برابر است با گنجایش مکعبی تو خالی که هر بعد آن 10 سانتیمتر باشد.
یک لیتر آب تقریبا برابر یک کیلوگرم می باشد.
سانتی متر مکعب = حجم مکعبی که هر یک از ابعاد آن 1 سانتی متر باشد، یک سانتی متر مکعب است.
متر مکعب = یک متر مکعب گنجایش مکعبی تو خالی به ابعاد یک متر است.
1000 لیتر برابر یک متر مکعب است.
سی سی = یک سانتیمتر مکعب برابر یک سی سی است .
یک لیتر = برابر 1000 سی سی است.
اوزان و مقیاس ها
گرم = هزار گرم برابر است با 1 کیلوگرم
کیلوگرم = 1000 گرم
تن = 1000 کیلوگرم
من = 3 کیلوگرم
خروار = 100 من
سیر = 75 گرم
چارک = 750 گرم
قیراط = 9/205 گرم
1 اونس = 35/28 گرم
1 پوند = 592/453 گرم
1 ری = 12 کیلو گرم
1 مثقال = 6875/4 گرم
1 نخود : 1953/0 گرم
1 گندم = 0488/0 گرم
واحدهای شمارش :
انسانها از گذشته تا کنون برای شمارش اشیاء از اصطلاحات زیر استفاده می کنند :
انسان (شتر و درخت خرما) = نفر
کشتی و هواپیما = فروند
پرندگان = عدد
خانه ، مغازه = باب
کتاب = جلد
کاغذ = برگ
دسته های کاغذ و مقوا = بند
پارچه و کالاهای تجاری = عدل
پارچه ندوخته = توپ
فشنگ = تیر
عکس = قطعه
اشیاء قابل شمارش(گردو، فندق و ...) = دانه
شیشه و آینه = جام
اسلحه سنگین (توپ و تانک و ....) = عراده
روزنامه و مجله = نسخه
شمع، لامپ (اشیاء نورانی) = شعله
گل و گیاه = دسته
درخت و الوار = اصله
دسته حیوانات = گله
حیوانات وحشی = قلاده
حیوانات اهلی = رأس
کفش = جفت
تلویزیون، رادیو و ... = دستگاه
فیلم، لاستیک(اشیاء مدور) = حلقه
دکمه، قرقره = جین
قالی، پتو = تخته
پارچه های شال و غیره = طاقه
فنجان = دست
اشیاء رشته مانند (کمربند و .........) = رشته
سرعت نور و صدا
سرعت نور در ثانیه = 300000 کیلومتر
مسافت طی شده نور در سال = سال نوری
برای محاسبه فاصله بین ستارگان و کهکشان ها از مقیاس سال نوری استفاده می شود و میزان آن برابر است با مسافتی که نور در طی یک سال طی می کند.
سرعت صوت (صدا) = 300 متر بر ثانیه
اندازه گیری سرعت حرکت وسایل نقلیه
کیلومتر بر ساعت kmh
مایل بر ساعتحجم
حجم در لغت به معنی برآمدگی و ستبری و جسامت چیزی می باشد و در اصطلاح هندسه گنجایش و ظرفیت جسم و آن مقداری از فضا که جسم آن را اشغال می کند, را نشان می دهد.
منشور: (Prism)
منشور در لغت به معنی پراکنده, نشر شده, زنده شده و مبعوث است و در اصطلاح هندسه نام شکلی است که دو قاعده دارد که دو چند ضلعی مساوی هستند و بدنه منشور(سطح جانبی منشور ) از مستطیلها یا متوازی الاضلاع ها تشکیل شده است.

معرفی منشور 5 پهلو:
 نام شکل: منشور 5 پهلو
 یال های منشور: 'EE',DD',CC',BB',AA
 وجه منشور: هر کدام از مستطیل های جانبی را یک وجه منشور می نامند.
 ارتفاع منشور: از آنجا که هر کدام از یال ها بر دو قاعده منشور عمود می باشند, لذا ارتفاع منشور با اندازه هر یک از یال ها برابر است.
 قاعده ی منشور: منشور دو قاعده دارد. ABCDE و 'A'B'C'D'E که دو پنج ضلعی مساوی اند.
رابطه های مهم:
ارتفاع × مساحت قاعده = حجم منشور
ارتفاع × محیط قاعده = مساحت جانبی منشور
مساحت دو قاعده + مساحت جانبی = مساحت کل منشور
شاید تا به حال به این فکر کرده باشید که بعد از میلیارد چیست؟؟
ترتیب بدین صورت است که بعد از هزار و میلیون میلیارد داریم که بیلیارد هم خوانده می شود و بعد از آن بیلیون و تریلیون و ... را داریم. به طور کلی اعداد را می توان در جدول زیر مشاهده کرد.
البته این جدول را می توان تا 100 مورد نوشت که آخرین آن 10600 است که قابل تصور هم نیست.
بچه‌های عزیز توجه داشته باشید اعداد بالا عدد ۱۰ نشان دهنده تعداد صفر های جلوی عدد ۱۰ می‌باشد.
Worldجهان    USآمریکا    n زیلیون     nth zillion    n
106    106    میلیون    Million    1
109        میلیارد    Milliard    2
1012    109    بیلیون    Billion    3
1018    1012    تریلیون    Trillion    4
1024    1015    کوادریلیون    Quadrillion    5
1030    1018    کوینتیلیون    Quintillion    6
11036    1021    سیکستیلون    Sextillion    7
1042    1024    سپتیلیون    Septillion    8
1048    1027    اکتیلیون    Octillion    9
1054    1030    نونیلیون    Nonillion    10
1060    1033    دسیلیون     Decillion    11
1066    1036    آندسیلیون    Undecillion    12
1072    1039    دودسیلیون    Dodecillion    13
1078    1042    تریدسیلیون    Tredecillion    14
1084    1045    کواتردسیلیون    Quattuordecillion    15
1090    1048    کویندسیلیون    Quindecillion     16
1096    1051    سیکسدسیلیون    Sexdecillion    17
10102    1054    سپتندسیلیون    Septendecillion    18
10108    1057    اکتودسیلیوم    Octodecillion    19
10114    1060    نومدسیلیون    Novemdecillion    20
تعداد اعداد
 تعیین تعداد عددهای صحیح یک مجموعه ‏ی اعداد متوالی:
 1-اگر تعداداعداد،از عدد اولی تا عدد آخری مورد نظر باشد از فرمول زیر،استفاده می‏شود.
 1 + (عدد اولی – عدد آخری) = تعداد اعداد
 مثال: از عدد27 تا عدد 1027 چند عدد صحیح (عددی که کسری و اعشاری نباشد) وجود دارد؟               
 تعداد اعداد   1001 = 1+(27 – 1027 )
  2-اگر تعداد اعداد،بین دو عدد اولی و آخری مورد نظر باشد از فرمول زیر،استفاده می‏شود.
 1 – ( عدد اولی – عدد آخری) = تعداد اعداد
 3- اگر تعداد اعداد زوج و یا فرد یک مجموعه‏ی اعداد متوالی مورد نظر باشد از فرمول‏های زیر استفاده می‏شود.
 1+ 2÷(کوچک‏ترین عدد زوج – بزرگ‏ترین عدد زوج) = تعداد اعداد زوج
 1 + 2÷(کوچک‏ترین عدد فرد – بزرگ‏ترین عدد فرد) = تعداد اعداد فرد
 مثال: از عدد 45تا 158چند عدد زوج وچند عدد فرد وجود دارد؟
 57= 1 + 2 ÷ (46 – 158 ) = تعداد اعداد زوج
57 = 1 + 2 ÷ ( 45 – 157 )= تعداد اعداد فرد
مجموع و اختلاف
هرگاه مجموع دو عدد و اختلاف آن دو عدد را به ما بدهند و آن دو عدد را از ما بخواهند، از دو راه زیر به دست می‏آید.
1-اگر مجموع واختلاف را از هم کم کرده،بر2 تقسیم کنیم عدد کوچک‏تر به دست می‏آید.
2- اگر مجموع واختلاف را با هم جمع کرده،بر2 تقسیم کنیم عدد بزرگ‏تربه دست می‏آید.
تعداد یک رقم در یک مجموعه‏ی اعداد متوالی
1-از عدد1 تا 99 از همه‏ی رقم‏ها 20 تا داریم به جز رقم(صفر)،که از آن 9 تا داریم.
2-از عدد 100تا 199 از همه‏ی رقم‏ها 20تا داریم به جز رقم(یک)،که از آن 120 تا داریم.
3- از عدد 200تا 299 از همه‏ی رقم‏ها 20تا داریم به جز رقم(دو)،که از آن 120 تا داریم و …
مجموع اعداد صحیح متوالی
1-برای محاسبه‏ی مجموع اعداد صحیح متوالی،از فرمول زیر استفاده می‏شود.
2 ÷ (تعداد اعداد × مجموع عدد اولی وعدد آخری ) = مجموع اعداد صحیح متوالی
مثال: محموع اعداد صحیح از 1 تا 100 را به دست آورید؟
مجموع اعداد           5050 = 2 ÷ 100( × (100 + 1 ))
2- برای محاسبه مجموع اعداد صحیح فرد متوالی که از عدد(یک) شروع 
می‏شوندویا مجموع اعداد صحیح زوج متوالی‏که‏ازعدد(دو)شروع می‏شوند
علاوه بر فرمول قبلی،می‏توانیم از فرمول های زیر استفاده کنیم.
                تعداد اعداد × تعداد اعداد = مجموع اعداد صحیح فرد متوالی
       (1 + تعداد اعداد) × تعداد اعداد = مجموع اعداد صحیح زوج متوالی
مثال: مجموع اعداد صحیح زوج و مجموع اعداد صحیح فرد متوالی از 1 تا100 را به دست آورید؟
از 1 تا 100 ، 50تا فرد و 50 تا زوج هستند.
2500 = 50 × 50 = تعداد اعداد صحیح فرد متوالی
2550 = 51 × 50 = تعداد اعداد صحیح زوج متوالی
عدد وسطی
هرگاه مجموع چند عدد صحیح متوالی (با فاصله های یکسان) را بدهند و آن اعداد را بخواهند ،مجموع آن اعداد را بر تعدادشان تقسیم کرده،عدد وسطی به دست می‏آید.
1- اگر تعداد اعدادفرد باشد مانندمثال زیر عمل،می کنیم.
مثال: مجموع 5 عدد صحیح متوالی 75 می‏باشدکوچک‏ترین عدد را به دست آورید؟                                   
عدد وسطی                           15 = 5 ÷ 75
75 = 17 + 16 + 15 + 14 + 13
 
2- اگر تعداد اعداد زوج باشد مانند مثال زیر عمل می کنیم.
مثال: مجموع 6 عدد صحیح فرد متوالی 96 می باشد یزرگ ترین عدد را به دست آورید؟  
عدد وسطی               16 = 6  ÷ 96
 
رقم یکان
1- هرگاه چند عدد زوج را با هم جمع کنیم رقم یکان حاصل جمع،حتماً زوج خواهد شد.
2- هرگاه چند عدد فرد را با هم جمع کنیم رقم یکان حاصل جمع،ممکن است زوج باشد یا فرد.
اگر تعداد اعداد،فرد باشد رقم یکان حاصل جمع،فرد می‏شود و بلعکس
3-هرگاه عدد زوجی را هرچند بار در خودش ضرب کنیم رقم یکان حاصل ضرب،حتماً زوج خواهد بود
تعداد پاره خط ها و نیم خط ها
1-هرگاه چند نقطه‏ی متمایز(جدا از هم)،بر روی یک خط راست باشند تعداد پاره خط ها از فرمول زیر به دست می آید.
 2 ÷ (تعداد فاصله ها × تعداد نقطه ها ) = تعداد پاره خط ها
توجه : تعداد فاصله‏ها همیشه یکی کم‏تر از تعداد نقطه‏ها است.
2-هرگاه چند نقطه‏ی متمایز،بر روی خط راست باشند، تعداد نیم خط‏ها از فرمول زیر،به دست می آید.
2 × تعداد نقطه‏ها = تعداد نیم خط‏ها
3-هرگاه چند نقطه‏ی متمایز، برروی یک نیم خط باشند،تعداد نیم خط‏ها مانند مثال زیر به دست می‏آید.
مثال: برروی یک نیم خط،هفت نقطه‏ی متمایز وجود دارد چند نیم خط،در شکل وجود دارد؟
پس (8 = 1 + 7 ) نقطه داریم یعنی 8 نیم خط خواهیم داشت.
4- هرگاه چند نقطه‏ی متمایز، برروی یک پاره خط باشند نیم خطی، درشکل وجود ندارد.
برش و قسمت:
وقتی می خواهیم یک قطعه یا جسمی رشته مانند را به قسمت های مساوی ویا نامساوی تقسیم کنیم همیشه تعداد قسمت‏ها یکی بیش‏تر از تعداد برش‏ها است.
مثال: یک آهنگر , میله ای به طول 12 متر را به چهار قسمت تقسیم کرد او برای این کار چند برش زده است؟
برش                3 = 1 – 4 (قسمت)

برگرفته شده از goodmath4.blog.ir